Guy Brousseau

NB. Le diaporama 9-1 présentait un masque noir, il est maintenant remplacé par une version correcte.

Le cours 9 continue l’étude de la modélisation des situations et des activités mathématiques des élèves. Pour enseigner une notion mathématique, il existe en général tout un éventail de possibilités offertes par la tradition ou par des innovations plus ou moins ambitieuses. Est-il possible d’éclairer ce choix  nécessaire par des considérations de complexité et d’ergonomie qui se prêtent à une mise à l’épreuve expérimentale ? Autrement dit peut-on passer du couple « rhétorique didactique et empirisme professionnel » à un autre, « modélisation et expérience scientifique », plus raisonnable, plus efficace et moins risqué que l’innovation débridée ou le conservatisme forcené qui s’affrontent aujourd’hui.Les expériences évoquées ici ont été menées dans les années 68-74 et les concepts sur lesquels elles sont fondées paraîtront bien primitifs – voire puérils- face au développement fantastique que connaissent aujourd’hui ces questions dans le domaine de l’informatique.
C’est une des difficultés de la recherche scientifique en Didactique et plus généralement en Education. Face à la complexité de l’objet d’étude, à son importance et à l’abondance de la littérature à son sujet, on s’attend à ce qu’une approche scientifique doive développer un corps de concepts de théories et de techniques comparable à ceux des domaines scientifiques  établis comme la médecine ou la physique. Beaucoup de chercheurs sont arrêtés par cette comparaison. Ils savent de si belles mathématiques anciennes ou nouvelles qu’il leur semble parfaitement dérisoire d’attaquer un problème aussi ample avec les moyens de calculs ridiculement simple. Et lorsqu’ils se hasardent à des synthèses comme le faisait Claude Bruter, elles n’atteignent jamais le stade expérimental.
L’essentiel est donc de tirer le fil des questions et des réponses expérimentales dont on peut disposer avec les prévisions que l’on peut faire. C’est ce que montre ce chapitre du cours.

Le lecteur trouvera dans ces diaporamas

-         L’étude de quelques variantes des algorithmes élémentaires de la multiplication et de la division et de l’arithmétique linéaire et leurs modélisations
-         la manière d’identifier les variables dont dépendent la difficulté et la fiabilité de l’exécution et la facilité de l’apprentissage de ces calculs,
-         le moyen de comparer ces méthodes à l’aide d’indices de complexité et de soumettre ces calculs à l’épreuve d’expériences scientifiques
-         les manières spécifiques de les mettre en œuvre et de les enseigner

Dans les années 70 ce travail m’apparaissait comme nécessaire pour gagner le temps dont nous avions besoin pour introduite de nouvelles connaissances de référence auprès des élèves et en profiter pour avancer l’étude des mathématiques. Ce travail continuait directement celui de Condorcet qui avait servi de base à l’école du 19^ième et du 20^ième siècle.

Ces travaux n’ont pas abouti. Lui ignorait, et moi j’aurai dû savoir  que, pour voir une méthode être  remplacée, il ne suffit pas d’apporter
-         la preuve scientifique de son inadéquation et de ses inconvénients assez lourds
-         la preuve qu’une autre méthode bien déterminée serait plus facile à utiliser et à enseigner
-         l’évidence que la nouvelle méthode ne nécessiterait aucune formation ni aucun dispositif supplémentaire, ni pour les élèves ni pour les enseignants ni pour le public
-         la preuve qu’elle a été adoptée avec profit ailleursMais ils ont été pour moi une forte raison de poursuivre les recherches de ce genre. Le but était de les étendre à toutes les mathématiques… Ce que j’ai eu un jour l’imprudence et la maladresse juvénile d’avouer publiquement. Quel est l’intérêt aujourd’hui de ces recherches ? Le lieu où se joue aujourd’hui le sort du calcul élémentaire n’est pas ce genre de recherches.
L’obstination a vouloir maintenir dans leurs traditions certaines pratiques du calcul et de son enseignement dans une société où les enfants ne voient personne calculer effectivement autour d’eux, conjuguée à une crispation des méthodes de gestion de l’enseignement et de tous les système dignes d’une civilisation esclavagiste. Pas besoin de savoir comment procéder, il suffit  de déléguer la tâche à un préposé et de lui dire « Obtiens les résultats que j’exige de toi, et que je peux contrôler – même si tu ne sais pas comment le faire – ou sois puni !». Cette idéologie barbare est en train de faire subir une régression sans précédent au rapport de notre société avec ses dispositifs d’enseignement.

J’espère que ces résultats et les commentaires qui les accompagnent seront utiles à quelques uns

Le diaporama du cours 9 présentait 112 vues. Pour en rendre la lecture plus facile est présenté ici sous forme de 4 diaporamas :
Cliquer ici pour lire le diapo         9-1-Complexité-des-activités-mathématiques2013 introduction et généralités                   23 vues
Cliquer ici pour lire le diapo         9-2 La complexité des activités mathématiques Façons de calculer la multiplication        44 vues
Cliquer ici pour lire le diapo         9-3 La complexité des activités mathématiques Façons de calculer la division                    27 vues
Cliquer ici pour lire le diapo         9-4 La complexité des activités mathématiques La résolution des problèmes linéaires    18 vues